Приведённая стоимость аннуитета (Barwert einer Rente)

Уровень 3 · Продвинутый

Немецкий терминBarwert einer Rente

Сначала прочитайтеПриведённая стоимость

Не путать сКапитализированная стоимость потока

Приведённая стоимость аннуитета — сегодняшняя стоимость конечной последовательности равных платежей, поступающих через регулярные интервалы. Каждый платёж дисконтируется на срок ожидания, после чего дисконтированные суммы складываются. Результат зависит от суммы платежа, числа и сроков платежей, а также ставки дисконтирования, выраженной для того же интервала.

Почему это важно

Пенсии, договоры аренды, платежи по кредитам и структурированные выплаты часто задают как ежемесячные или ежегодные потоки. Сумма их номинальных значений не учитывает, когда поступает каждый евро. Приведённая стоимость аннуитета приводит поток и единовременную сумму к одной дате, не утверждая, что выбранная ставка дисконтирования единственно верна.

Разобранный пример

Допустим, пять платежей по €1 000 поступают в конце года при иллюстративной годовой ставке дисконтирования 4 %. Для обычного аннуитета коэффициент равен:

(1 - 1,04^-5) / 0,04 = 4,451822

Приведённая стоимость составляет €1 000 × 4,451822 = €4 451,82. Недисконтированная сумма €5 000 больше, потому что более поздние платежи на дату сравнения стоят меньше.

Сроки платежей меняют результат. Если каждые €1 000 поступают в начале, а не в конце каждого года, каждый платёж дисконтируется на один год меньше. Такая стоимость аннуитета пренумерандо равна €4 451,82 × 1,04 = €4 629,89.

Контрольный список для сравнения

Параметр	Вопрос, который нужно уточнить
Платёж	Он фиксированный, индексируемый или неопределённый?
Число платежей	Сколько платежей предусмотрено договором?
Сроки	Начало или конец каждого периода?
Ставка дисконтирования	Номинальная или реальная и отражает ли она риск платежа?
Налоги и сборы	Сравниваемые денежные потоки берутся до них или после?

Не путать с капитализированной стоимостью потока

Аннуитет имеет конечное число платежей. Приём капитализированной стоимости может моделировать продолжающийся или бессрочный поток, деля его на ставку. Если пятилетний поток считать бессрочным, его стоимость может оказаться сильно завышена.

Проверь себя

Пять платежей по €1 000 в конце года имеют коэффициент аннуитета 4,451822. Чему равна их приведённая стоимость в евро?

Почему аннуитет пренумерандо стоит больше, чем идентичный по остальным параметрам обычный аннуитет?

Каждый платёж поступает на один период раньшеУ него всегда больше платежейЕго ставка дисконтирования автоматически равна нулю

Какие данные нужны для расчёта приведённой стоимости конечного аннуитета? Выберите все подходящие варианты.

Сумма платежаЧисло и сроки платежейСтавка дисконтирования для того же интервалаУтверждение, что поток продолжается бесконечно

Чем приведённая стоимость аннуитета отличается от капитализированной стоимости продолжающегося потока?

У аннуитета конечное число платежейАннуитет никогда не использует дисконтированиеКапитализированная стоимость всегда меньше

Источники

1. Deutsche Bundesbank — Zur Herleitung der Risikoprämie und des Risikoappetits, https://publikationen.bundesbank.de/content/948442 (2024)
2. International Actuarial Association — International Actuarial Note 100: Application of IFRS 17 Insurance Contracts, chapter 3, https://actuaries.org/app/uploads/2025/04/IAA_IAN100_31August2021.pdf (2021)