Математическое ожидание (Erwartungswert)

Уровень 2 · Фундамент

Немецкий терминErwartungswert

Сначала прочитайтеОсновы вероятности

Используется вСпекуляция и инвестирование · Объединение рисков · Риск разорения (катастрофический риск) · Самострахование

Математическое ожидание (Erwartungswert) — вероятностно-взвешенное среднее значение всех возможных исходов случайного события: чтобы его найти, умножьте каждый исход на вероятность этого исхода и сложите полученные результаты. Эта величина показывает, сколько в среднем платит за раунд повторяющаяся ставка, страховка или лотерея, а не то, что принесёт один конкретный раунд.

Почему это важно

Страховщики устанавливают премию выше ожидаемого убытка: разница покрывает обработку страховых случаев, капитальные резервы и прибыль. Лотереи, наоборот, назначают цену билета ниже ожидаемого выигрыша — разницу забирает оператор. Сравнение цены с математическим ожиданием показывает, на какой стороне этого разрыва находитесь вы.

Но у математического ожидания есть предел: положительное математическое ожидание может быть плохой ставкой, если домохозяйство не переживёт худший исход. Азартная игра с отличной средней доходностью не имеет значения, если один неудачный исход лишает сбережений, жилья или дохода, необходимого для повседневной жизни. Именно поэтому катастрофические риски — пожар, ответственность, тяжёлая болезнь — страхуют, даже когда расчёт математического ожидания страховщика гарантирует покупателю проигрыш в среднем.

Примеры расчётов

1. Лотерейный билет. Билет стоит €10 и даёт шанс 1 к 1 000 000 выиграть €1 000 000, в остальных случаях выплаты нет. Математическое ожидание: €1 000 000 x (1 / 1 000 000) = €1. Математическое ожидание билета — €1, а цена — €10. Покупка билета — ставка с отрицательным математическим ожиданием в €9: билет в среднем переносит €9 от покупателя к оператору в обмен на небольшой шанс получить крупную сумму.

2. Страховой пример. Домохозяйство ежегодно сталкивается с вероятностью 1 к 200 получить штормовой ущерб дому на €20 000, в остальных случаях ущерба нет. Ожидаемый убыток: €20 000 x (1 / 200) = €100 в год. Страховщик предлагает покрытие за годовую премию €150 — на €50 выше ожидаемого убытка. Если судить только по математическому ожиданию, премия — невыгодная ставка: платить €150, чтобы избежать среднего убытка в €100, значит в среднем терять €50 в год.

Если судить по риску разорения, расчёт выглядит иначе. Незастрахованное домохозяйство в неудачный год несёт полный убыток в €20 000 — сумма, которая может вынудить продать активы, пропустить другие платежи или взять долг в неподходящий момент. Застрахованное домохозяйство вместо этого несёт предсказуемые €150 каждый год. Плата выше математического ожидания превращает редкий, крупный и разрушительный убыток в небольшой, гарантированный и предсказуемый расход. Оправдан ли такой обмен для конкретного домохозяйства, зависит от того, во сколько на самом деле обойдётся удар в €20 000 за один год сверх самих €20 000 — пропущенная аренда, вынужденная продажа активов или долг под невыгодную ставку, — а не только от сравнения по математическому ожиданию.

Почему страховка всё же оправдана: ожидаемая полезность

Математическое ожидание считает евро так, будто потерять десятую тысячу так же больно, как первую. Домохозяйства воспринимают деньги иначе: первые €20 000 сбережений — те, что покрывают аренду и еду, — значат гораздо больше, чем двадцатая тысяча. Экономисты описывают это через ожидаемую полезность (expected utility): вместо усреднения денежных исходов усредняют ценность каждого исхода для домохозяйства по кривой, которая круто растёт при низком достатке и выравнивается по мере его роста, — вогнутой кривой, например логарифмической.

По такой кривой редкая потеря €20 000 уничтожает куда больше ценности, чем говорит её ожидаемый убыток в €100, потому что бьёт, когда каждый евро на счету. Премия €150 стоит лишь немного ценности — её отдают из комфортного положения, где на пределе евро значит меньше. Поэтому ставка, которая в среднем теряет деньги (отрицательное математическое ожидание), может повышать ожидаемую полезность. Это строгая формулировка мысли о риске разорения: страховка рациональна не вопреки отрицательному математическому ожиданию, а потому что усреднять нужно полезность, а не евро, когда один плохой исход обернулся бы катастрофой.

Проверьте себя

Лотерейный билет стоит €5. Шанс выиграть €2 000 000 — 1 к 500 000, в остальных случаях выплаты нет. Чему равно математическое ожидание билета в евро?

У ставки положительное математическое ожидание, но есть шанс 1 к 20 потерять сумму, которую домохозяйство не сможет восполнить — например, весь резервный фонд и месячную арендную плату. Делает ли положительное математическое ожидание эту ставку приемлемой?

Да — положительное математическое ожидание означает, что ставку стоит принять независимо от размера возможного убыткаНе обязательно — убыток, от которого домохозяйство не сможет оправиться, может сделать неприемлемой ставку с положительным математическим ожиданиемНет — любой ставки с возможным убытком следует избегать

Домохозяйство ежегодно сталкивается с вероятностью 1 к 200 получить €20 000 штормового ущерба (ожидаемый убыток: €100 в год), а страховщик берёт за покрытие €150 в год — на €50 выше ожидаемого убытка. Означает ли премия выше ожидаемого убытка, что страхователя обманывают?

Да — справедливая цена должна равняться ожидаемому убытку, поэтому любая премия выше него — обманНет — платить выше ожидаемого убытка может быть разумно, потому что это превращает редкий, крупный и разрушительный убыток в небольшой, предсказуемый

Домохозяйство платит €150 годовой премии, чтобы застраховаться от редкого убытка с математическим ожиданием всего €100 в год. По одному лишь математическому ожиданию полис теряет €50 в год — почему его покупка всё же может быть рациональной?

Потому что ожидаемая полезность придаёт катастрофическому убытку гораздо больший вес, чем его денежное среднее, поэтому страховка может повышать ожидаемую полезность даже при отрицательном математическом ожидании.Потому что расчёт математического ожидания страховщика наверняка ошибочен.Потому что за достаточное число лет премии всегда возвращаются полностью.