Erwartungswert
Der Erwartungswert ist der wahrscheinlichkeitsgewichtete Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse eines unsicheren Ereignisses: Du multiplizierst jedes Ergebnis mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst die Ergebnisse. Diese Zahl zeigt, was eine wiederholte Wette, eine Versicherungspolice oder eine Lotterie pro Runde im Durchschnitt auszahlt, nicht was eine einzelne Runde auszahlt.
Warum das wichtig ist
Versicherer kalkulieren Prämien über dem erwarteten Verlust; die Differenz deckt Schadenbearbeitung, Kapitalrücklagen und Gewinn. Lotterien kalkulieren Lose unter dem erwarteten Gewinn, aus demselben Grund in umgekehrter Richtung – der Betreiber behält die Lücke. Vergleichst du einen Preis mit dem Erwartungswert, siehst du, auf welcher Seite dieser Lücke du stehst.
Doch der Erwartungswert hat eine Grenze: Ein positiver Erwartungswert kann für einen Haushalt trotzdem eine schlechte Wette sein, wenn er den ungünstigsten Fall nicht übersteht. Eine Wette mit ausgezeichneter durchschnittlicher Rendite ist irrelevant, wenn ein einziger Pechfall Ersparnisse, Wohnraum oder Einkommen wegfegt, die du zum Funktionieren brauchst. Das ist der Kerngrund, warum katastrophale Risiken – Feuer, Haftung, schwere Krankheit – versichert werden, obwohl die Erwartungswert-Rechnung des Versicherers garantiert, dass der Käufer im Durchschnitt verliert.
Durchgerechnete Beispiele
1. Ein Lotterielos. Ein Los kostet 10 € und bietet eine Chance von 1:1.000.000 auf einen Gewinn von 1.000.000 €, sonst keine Auszahlung. Erwartungswert: 1.000.000 € x (1 / 1.000.000) = 1 €. Der Erwartungswert des Loses ist 1 €; der Preis ist 10 €. Es zu kaufen ist eine Wette mit einem negativen Erwartungswert von 9 € – das Los überträgt im Durchschnitt 9 € vom Käufer zum Betreiber, im Austausch für eine kleine Chance auf eine große Summe.
2. Ein Versicherungsbeispiel. Ein Haushalt hat eine Chance von 1:200 pro Jahr auf einen Sturmschaden von 20.000 € am Haus, sonst keinen Schaden. Erwarteter Verlust: 20.000 € x (1 / 200) = 100 € pro Jahr. Ein Versicherer bietet Deckung für eine Jahresprämie von 150 € – 50 € über dem erwarteten Verlust. Rein nach Erwartungswert betrachtet ist die Prämie eine schlechte Wette: 150 € zu zahlen, um einen durchschnittlichen Verlust von 100 € zu vermeiden, kostet im Durchschnitt 50 € pro Jahr.
Nach dem Ruinrisiko betrachtet sieht die Rechnung anders aus. Der unversicherte Haushalt trägt im Pechjahr die vollen 20.000 € – eine Summe, die dazu zwingen kann, Vermögenswerte zu verkaufen, andere Zahlungen zu verpassen oder zu einem schlechten Zeitpunkt Schulden aufzunehmen. Der versicherte Haushalt trägt stattdessen jedes Jahr planbare 150 €. Über dem Erwartungswert zu zahlen wandelt einen seltenen, großen, disruptiven Verlust in einen kleinen, sicheren, budgetierbaren um. Ob sich dieser Tausch für einen bestimmten Haushalt lohnt, hängt davon ab, wie viel ein Schaden von 20.000 € in einem einzigen Jahr über die 20.000 € hinaus tatsächlich kosten würde – an verpasster Miete, Notverkäufen oder Schulden zu schlechten Konditionen – nicht allein vom Vergleich der Erwartungswerte.
Warum eine Versicherung trotzdem sinnvoll ist: der Erwartungsnutzen
Der Erwartungswert zählt Euro so, als schmerzte der Verlust des zehnten Tausenders genauso wie der des ersten. So erleben Haushalte Geld nicht – die ersten 20.000 € an Ersparnissen, der Teil, der Miete und Essen deckt, zählen weit mehr als der zwanzigste Tausender. Ökonomen fassen das im Erwartungsnutzen: Statt die Euro-Ergebnisse zu mitteln, mittelt man den Wert, den jedes Ergebnis für den Haushalt hat – entlang einer Kurve, die bei geringem Vermögen steil steigt und mit wachsendem Vermögen abflacht, also einer konkaven Kurve wie dem logarithmischen Nutzen.
Auf dieser Kurve zerstört ein seltener Verlust von 20.000 € weit mehr Wert, als sein erwarteter Verlust von 100 € nahelegt, weil er trifft, wenn jeder Euro knapp ist. Eine Prämie von 150 € kostet nur wenig Wert – aufgegeben aus einer komfortablen Lage, in der Euro am Rand weniger wert sind. So kann eine Wette, die im Schnitt Geld verliert – negativer Erwartungswert –, den Erwartungsnutzen dennoch erhöhen. Das ist die formale Fassung des Ruinrisiko-Gedankens: Eine Versicherung ist rational nicht trotz des negativen Erwartungswerts, sondern weil man in Nutzen statt in Euro mitteln muss, wenn ein einziges schlechtes Ergebnis katastrophal wäre.
Teste dich selbst
Ein Los für eine Tombola kostet 5 €. Es hat eine Chance von 1:500.000, 2.000.000 € zu gewinnen, und zahlt sonst nichts aus. Wie hoch ist der Erwartungswert des Loses in Euro?
Eine Wette hat einen positiven Erwartungswert, aber eine Chance von 1:20, einen Betrag zu verlieren, den der Haushalt nicht ersetzen kann – zum Beispiel den gesamten Notgroschen und eine Monatsmiete. Macht der positive Erwartungswert diese Wette akzeptabel?
Ein Haushalt hat eine jährliche Chance von 1:200 auf einen Sturmschaden von 20.000 € (erwarteter Verlust: 100 €/Jahr), und ein Versicherer verlangt 150 €/Jahr für die Deckung — 50 € über dem erwarteten Verlust. Bedeutet die Prämie über dem erwarteten Verlust automatisch, dass der Versicherte über den Tisch gezogen wird?
Ein Haushalt zahlt 150 € Jahresprämie, um sich gegen einen seltenen Verlust mit einem Erwartungswert von nur 100 € pro Jahr zu versichern. Nach dem Erwartungswert allein verliert die Police 50 € pro Jahr – warum kann ihr Abschluss trotzdem rational sein?