Wahrscheinlichkeit (Grundlagen)
Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1 (oder 0-100 %), die angibt, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist. Eine Wahrscheinlichkeit von 0 bedeutet unmöglich, 1 bedeutet sicher, und Werte dazwischen beschreiben die Häufigkeit eines Ereignisses über viele Wiederholungen hinweg — eine faire Münze zeigt im Schnitt bei 50 % der Würfe Kopf, auch wenn ein einzelner Wurf nur Kopf oder Zahl sein kann.
Warum das wichtig ist
Versicherungsprämien, Risikoeinstufungen bei Geldanlagen und Ausfallquoten bei Krediten sind alles Wahrscheinlichkeiten, nur anders verpackt — ein Versicherer bepreist eine Police anhand der Chance, dass ein Schaden eintritt, nicht anhand von Gewissheit. Anlagerisiko wird routinemäßig als Wahrscheinlichkeit eines Verlusts über einen bestimmten Zeithorizont beschrieben, und Betrugsversprechen ("garantiert 20 % Rendite im Monat") funktionieren genau deshalb, weil sie die tatsächlichen Chancen hinter dem Versprechen verschleiern oder falsch darstellen. Jede Geldentscheidung — ein Job, eine Police, eine Geldanlage — ist eine Wette auf einen ungewissen Ausgang, egal ob jemand die Chancen laut ausspricht oder nicht. Wahrscheinlichkeit richtig zu lesen macht aus einer impliziten Wette eine explizite, vergleichbare.
Durchgerechnete Beispiele
1. Eine 1-zu-200-Chance richtig lesen. Ein bestimmtes Risiko — sagen wir, ein Defekt, der eine Reparatur für 20.000 € auslöst — hat eine Chance von 1 zu 200 (0,5 %), in einem einzelnen Jahr einzutreten. Über ein Jahr ist 0,5 % tatsächlich klein: ungefähr 1 von 200 Fällen trifft es, 199 nicht. Über 20 Jahre summiert sich das Risiko, weil jedes Jahr ein neuer unabhängiger Zug ist: Die Chance, dass es mindestens einmal über diese 20 Jahre eintritt, steigt auf 1 - 0,995^20 ≈ 9,5 % — fast 1 zu 10, weit entfernt von "praktisch nie". Eine kleine Wahrscheinlichkeit pro Jahr und die kumulierte Wahrscheinlichkeit über viele Jahre sind nicht dieselbe Zahl; einen langen Zeithorizont so zu behandeln, als gälte die Ein-Jahres-Zahl, unterschätzt das tatsächliche Risiko.
2. Unabhängige Risiken addieren sich nicht. Zwei nicht zusammenhängende Risiken — sagen wir, ein Gerätedefekt und, getrennt davon, ein Datenleck — haben jeweils eine unabhängige Chance von 10 %, dieses Jahr einzutreten. Die Chance, dass mindestens eines davon eintritt, ist nicht 10 % + 10 % = 20 %; das zählt den Fall, dass beide eintreten, doppelt. Die richtige Rechnung multipliziert die Chancen, dass keines der beiden eintritt, und zieht das Ergebnis von 1 ab: 1 - (0,9 x 0,9) = 1 - 0,81 = 0,19, also 19 %. Unabhängige Wahrscheinlichkeiten direkt zu addieren überschätzt das kombinierte Risiko immer, und die Lücke zwischen den naiven 20 % und den korrekten 19 % wächst schnell, sobald mehr als zwei Risiken übereinandergestapelt werden.
Teste dich selbst
Zwei unabhängige Risiken haben jeweils eine Chance von 10 %, dieses Jahr einzutreten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit (in %), dass mindestens eines von beiden eintritt? Runde auf den nächsten ganzen Prozentpunkt.
Ein bestimmtes Risiko hat eine Chance von 0,5 % (1 zu 200), in einem einzelnen Jahr einzutreten. Ist die Wahrscheinlichkeit, dass es über einen Zeitraum von 20 Jahren mindestens einmal eintritt, immer noch 0,5 %?
Welche der folgenden Werte kann eine Wahrscheinlichkeit tatsächlich annehmen? Wähle alle zutreffenden Antworten aus.
Wandle eine Chance von 1 zu 200 in einen Prozentsatz um.